사다리타기는 참가자마다 서로 다른 결과가 정확히 하나씩 돌아가는 게임입니다. 이게 우연이 아니라 수학적으로 증명된 성질이라는 사실과, 어디서 왔는지는 의외로 밝혀지지 않았다는 사실을 정리했습니다.
확인 2026-11-03 · 이광연·이광상·유기종, 「함수의 도입을 위한 사다리타기 게임의 수학적 분석」, 한국수학교육학회지 시리즈 E 제27권 3호(2013.9, 267-281쪽) 원문 확인
사다리타기는 어디서 왔을까 — 기원은 확인되지 않았다
흔히 "일본에서 건너온 놀이"라는 설명이 떠돌지만, 2013년 한국수학교육학회지에 실린 논문은 "사다리타기 게임의 기원은 확실하지 않다"고 분명히 밝히고 있습니다. 다만 이 논문은 한국에서도 오래전부터 전해지는 놀이라는 근거로 미국 인류학자 스튜어트 컬린(Stewart Culin)이 1958년 쓴 『Games of the Orient』(한국의 여러 고전 놀이를 소개한 책)를 인용했고, 미국 수학 저널 《The College Mathematics Journal》(1992)에도 랭(Lange)과 밀러(Miller)가 이 게임을 'Random Ladder Game'이라 부르며 마르코프 체인(Markov chain) 모델로 분석한 논문을 실었다고 적고 있습니다. 즉 특정 나라의 발명품이라기보다, 여러 나라에서 비슷한 형태로 알려진 놀이로 보는 것이 더 정확합니다.
왜 결과가 겹치지 않을까 — 치환으로 보는 사다리
위 논문의 "정리 1"은 "사다리그림은 일대일대응을 결정한다"는 것을 수학적으로 증명합니다. 핵심 아이디어는 이렇습니다.
- 가로선이 하나도 없으면 출발점이 그대로 도착점이 되는 항등함수입니다.
- 가로선이 딱 하나뿐이면 그 가로선이 잇는 인접한 두 자리만 서로 자리를 맞바꾸고 나머지는 그대로인 호환(transposition), 즉 가장 단순한 형태의 일대일대응입니다.
- 가로선이 여러 개면 사다리 전체는 이런 호환들을 위에서부터 순서대로 하나씩 적용(합성)한 것과 같습니다. 호환을 아무리 많이 합성해도 결과는 여전히 일대일대응(치환)이므로, 참가자마다 돌아가는 결과가 겹치지 않고 정확히 하나씩 대응됩니다.
뚝딱툴 사다리타기가 참가자 수(n)에 따라 max(n×2, 8)줄의 가로선을 암호학적 난수로 무작위 배치하는 것도 이 성질 위에 서 있습니다 — 가로선을 몇 개, 어디에 두든 최종 결과는 항상 일대일대응이 보장되기 때문에 공정성이 흔들리지 않습니다.
학교에서도 배우는 사다리타기
이 논문은 단순한 흥미 요소를 넘어, 사다리타기를 중학교의 함수 개념과 고등학교의 합성함수·역함수 개념을 도입하는 교육 소재로 제안합니다. 집합이나 기호를 먼저 배우지 않고도 "결과가 하나씩 정확히 연결된다"는 사다리 그림을 직접 그려보는 것만으로 일대일대응을 직관적으로 이해할 수 있기 때문입니다. 논문에 따르면 그전까지도 교실에서 사다리타기로 함수를 설명한 사례는 있었지만, 그 그림이 실제로 함수가 맞는지·어떤 성질을 갖는지를 엄밀하게 분석한 국내 연구는 이 논문이 처음이었다고 밝히고 있습니다.
사다리타기로 직접 뽑아보기
사다리타기에서 이름과 결과를 넣으면 암호학적 난수로 공정하게 번호나 순서를 정할 수 있습니다. 점심 내기, 순서 정하기, 팀 나누기에 바로 쓰세요.
자주 묻는 질문
Q. 사다리타기는 누가 언제 만들었나요?
정확한 기원은 확인되지 않았습니다. 2013년 한국수학교육학회지 논문도 "기원은 확실하지 않다"고 밝히며, 한국을 포함한 여러 나라에서 비슷한 놀이가 알려져 있다고 설명합니다.
Q. 사다리타기가 정말 공정한가요?
네, 수학적으로 증명돼 있습니다. 가로선 0개는 항등함수, 1개는 호환이고, 어떤 사다리든 호환 여러 개를 합성한 것이라 참가자와 결과가 정확히 하나씩 겹치지 않게 대응됩니다.
Q. 사다리타기로 수학을 배울 수 있나요?
네. 2013년 논문은 사다리타기가 일대일대응을 직관적으로 보여줘 중학교 함수, 고등학교 합성함수·역함수 개념을 도입하는 교육 소재로 쓸 수 있다고 제안합니다.